Deux infinis différents sont en fait de même taille

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Deux mathématiciens viennent de résoudre un problème de longue date en prouvant que deux infinis différents sont en fait de même taille. Leur preuve réside dans le lien surprenant entre les tailles des ensembles infinis et la complexité des théories mathématiques.

Cette découverte va à l’encontre de ce que l’on pensait depuis des décennies : deux mathématiciens viennent de prouver que deux sortes différentes d’infini ont en réalité la même taille. Cette avancée touche l’un des problèmes les plus célèbres et les plus insolubles des mathématiques : existe-t-il des types d’infinis de taille intermédiaire entre celle de l’ensemble des nombres entiers naturels et celle des nombres réels, plus grand ?

Le problème a été identifié pour la première fois il y a un siècle. A cette époque, les mathématiciens savaient que « les nombres réels étaient plus nombreux que les nombres naturels », mais ils ne savaient pas de combien. « Est-ce juste la taille au dessus, ou existe-t-il une taille intermédiaire ? », explique Maryanthe Malliaris, de l’université de Chicago, coauteure de la nouvelle étude avec Saharon Shelah, de l’université hébraïque de Jérusalem et de l’université de Rutgers.

Dans leur publication, Maryanthe Malliaris et Saharon Shelah répondent à une question datant de 70 ans : un certain infini (appelé p, nous reviendrons plus tard sur sa définition) est-il plus petit qu’un autre infini (appelé t) ? Ils ont prouvé que les deux sont en fait égaux, à la grande surprise des mathématiciens.

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